কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে । তাদের প্রথম ও দ্বিতীয়টির মর্ধ্যবর্তী কোণ $90°$ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয়টির মধ্যবর্তী কোণ $120°$ হলে, বলগুলোর অনুপান কোনটি?

যখন কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সমতলীয় বল ভারসাম্য সৃষ্টি করে, তখন ল্যামির উপপাদ্য (Lami's Theorem) প্রয়োগ করা যায়। ল্যামির উপপাদ্য অনুযায়ী, প্রতিটি বল অন্য দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের সাইন-এর (sine) সমানুপাতিক হয়।

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:

    
• প্রথম বল (\(P_1\)) এবং দ্বিতীয় বল (\(P_2\)) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha_{12} = 90^\circ\)।
    
• দ্বিতীয় বল (\(P_2\)) এবং তৃতীয় বল (\(P_3\)) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha_{23} = 120^\circ\)।

একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত মোট কোণ \(360^\circ\)। সুতরাং, তৃতীয় বল (\(P_3\)) এবং প্রথম বল (\(P_1\)) এর মধ্যবর্তী কোণ (\(\alpha_{31}\)) হবে:

\(\alpha_{31} = 360^\circ - (\alpha_{12} + \alpha_{23})\)

\(\alpha_{31} = 360^\circ - (90^\circ + 120^\circ)\)

\(\alpha_{31} = 360^\circ - 210^\circ\)

\(\alpha_{31} = 150^\circ\)

এখন, ল্যামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:

\(\frac{P_1}{\sin(\text{P}_2 \text{ ও } \text{P}_3 \text{ এর মধ্যবর্তী কোণ})} = \frac{P_2}{\sin(\text{P}_3 \text{ ও } \text{P}_1 \text{ এর মধ্যবর্তী কোণ})} = \frac{P_3}{\sin(\text{P}_1 \text{ ও } \text{P}_2 \text{ এর মধ্যবর্তী কোণ})}\)

\(\frac{P_1}{\sin(120^\circ)} = \frac{P_2}{\sin(150^\circ)} = \frac{P_3}{\sin(90^\circ)}\)

সাইন-এর মানগুলো নির্ণয় করি:

    
• \(\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
    
• \(\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)
    
• \(\sin(90^\circ) = 1\)

মানগুলো সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(\frac{P_1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{P_2}{\frac{1}{2}} = \frac{P_3}{1}\)

বলগুলোর অনুপাত বের করার জন্য, আমরা এই ভগ্নাংশগুলো থেকে হর (denominator) বাদ দিতে পারি। এর জন্য, আমরা সবগুলোকে 2 দিয়ে গুণ করি:

\(P_1 : P_2 : P_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 : \frac{1}{2} \times 2 : 1 \times 2\)

\(P_1 : P_2 : P_3 = \sqrt{3} : 1 : 2\)

সুতরাং, বলগুলোর অনুপাত \(\sqrt{3}:1:2\)।